内田 §22 連結性
問25.1 任意の位相空間$ (X,\mathcal O)にて、 $ \forall A\subseteq X:A\text{は}(X,\mathcal O)\text{の連結集合}\iff\forall U,V\in\mathcal O:\begin{dcases}U\cap A\neq\varnothing\\V\cap A\neq\varnothing\\A\subseteq U\cap V\end{dcases}\implies U\cap V\cap A\neq\varnothing
定理25.1 任意の位相空間$ (X_1,\mathcal O_1),(X_2,\mathcal O_2)と連続写像$ f:X_1\to X_2にて $ \forall A\in2^X:A\text{は}(X_1,\mathcal O_1)\text{の連結集合}\implies f^\to(A)\text{は}(X_2,\mathcal O_2)\text{の連結集合}
定理25.2 任意の位相空間$ (X,\mathcal O)にて $ \forall A,B\in2^X:\begin{dcases}A\text{は}(X,\mathcal O)\text{の連結集合}\\A\subseteq B\subseteq\overline{A}\end{dcases}\implies B\text{は}(X,\mathcal O)\text{の連結集合}
定理25.3 任意の位相空間$ (X,\mathcal O)にて $ \forall\mathcal M\subseteq2^X:\begin{dcases}\forall M\in\mathcal M:M\text{は}(X,\mathcal O)\text{の連結集合}\\\bigcap\mathcal M\neq\varnothing\end{dcases}\implies \bigcup\mathcal M\text{は}(X,\mathcal O)\text{の連結集合}
問25.2 任意の位相空間$ (X,\mathcal O)にて $ \forall\mathcal M\subseteq2^X:\begin{dcases}\forall M\in\mathcal M:M\text{は}(X,\mathcal O)\text{の連結集合}\\\forall S,E\in\mathcal M\exist N\in\N\exist M_\bullet:\N_{\le N}\to\mathcal M:\\\begin{dcases}S\cap M_1\neq\varnothing\\\forall i\in\N_{<N}:M_i\cap M_{i+1}\neq\varnothing\\M_N\cap E\neq\varnothing\end{dcases}\end{dcases}\implies \bigcup\mathcal M\text{は}(X,\mathcal O)\text{の連結集合}
定理25.3の一般化
これは弧状連結のことを述べているはずtakker.icon 連結成分
$ \forall x\in X:C(x):=\max\{A\in2^X|x\in A\land A\text{は}(X,\mathcal O)\text{の連結集合}\}を$ xの連結成分 (connected component)という wikiを見てみたが、決まった記法はなさそうtakker.icon 例25.1
$ (X,\mathcal O)は完全不連結である$ :\iff\forall x\in X:C(x)=\{x\} 例25.2 通常の位相に関して$ (\R,\mathcal O)は連結である 問25.3 通常の位相に関して、$ (\R,\mathcal O) の$ [a,b],[a,b[,\rbrack a,b\lbrack による部分位相空間はどれも互いに同相でない 定理25.5 位相空間系$ \Lambda\in\lambda\mapsto(X_\lambda,\mathcal O_\lambda)がすべて連結なら、直積位相空間$ \prod_{\lambda\in\Lambda}(X_\lambda,\mathcal O_\lambda)も連結である 問25.4 $ \R^2の高々可算集合の補集合は、通常の位相に関して$ (\R^2,\mathcal O)の連結集合である 問25.6 上限位相をもった$ \Rの位相空間の部分集合を調べる